Задача: На двух вертикальных пружинах одинаковой длины с жесткостями 10 Н/м и 30 Н/м подвешен стержень массой 3 кг длиной 2 м (рис. 44). На каком расстоянии от конца стержня, к которому прикреплена пружина с жесткостью 10 Н/м, надо подвесить груз, чтобы стержень остался в горизонтальном положении и при этом пружины удлинились на 20 см?
Пояснение: Обозначим k1 жесткость левой пружины, k2 — жесткость правой пружины, m — массу стержня а), l — его длину, х — деформацию пружины, l1 — расстояние от конца стержня до точки подвеса груза, F1 — силу, вращающую стержень против часовой стрелки, F2 — силу, вращающую стержень по часовой стрелке, М — момент силы тяжести, М1 — момент силы F1, М2 — момент силы F2, g — ускорение свободного падения.
Когда груза не было, левый конец стержня под действием его веса и с более слабой силой упругости в левой пружине отвис, а правый приподнялся, т.к. там пружина более жесткая. Поэтому, чтобы стержень принял горизонтальное положение, надо ближе к его правому концу подвесить груз. Равновесие наступит, когда сумма моментов, вращающих стержень вокруг точки подвеса груза О по часовой стрелке, будет равна сумме моментов сил, вращающих его вокруг этой же точки против часовой стрелки. Против часовой стрелки вращают стержень вокруг точки О сила тяжести и сила F2, равная по модулю силе упругости, возникающей в правой пружине при ее деформации. А по часовой стрелке вращает стержень сила F1, тоже равная силе упругости в левой пружине. Согласно правилу моментов сил момент М силы тяжести mg плюс момент М2 силы F2 равен моменту М1 силы F1:
Момент силы F2, которая, согласно закону Гука, равна по модулю k2x, где х — одинаковое удлинение обеих пружин (ведь стержень остался горизонтальным), равен произведению этой силы и ее плеча. А плечом силы F2 является отрезок Оb, равный l — l1. Поэтому момент силы F2
Ответ: l1 = 0,8 м.