Задача: Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди. Ее масса 2 кг. Масса остальной — стальной части стержня 4 кг. Длина всего стержня 1 м. Найти положение центра тяжести стержня относительно его медного конца.

Пояснение: Обозначим m1 массу медной части стержня, m2 — массу стальной части стержня, l — длину стержня, х — расстояние от этого центра верно О до левого конца стержня, g — ускорение свободного падения, М1 — момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке, М2 — момент силы, вращаю- щей стержень против часовой стрелки, l1 — плечо силы тяжести m1g, l2 — плечо силы тяжести m2g.

kas70-1

К центру масс медной части С1, расположенному посередине ее, приложим силу тяжести m1g, а к центру С2 стальной части, тоже расположенному посередине этой части, приложим силу тяжести m2g, вектор которой должен быть длиннее, потому что стальная часть стержня тяжелее медной. И соединим эти центры тяжести горизонтальным отрезком С1С2. Так мы получим рычаг, на концы которого С1 и С2 будут действовать две силы: сила тяжести m1g, стремящаяся повернуть рычаг против часовой стрелки, и сила тяжести m2g, которая стремится повернуть его по часовой стрелке вокруг центра тяжести стержня О.

Теперь подумаем: где будет располагаться центр тяжести всего стержня. Это должна быть такая точка, в которой, если стержень подпереть, он останется в равновесии. Очевидно, эта точка расположена где-то между точкам и С1 и С2 ближе к точке С2. Обозначим ее буквой О и подрисуем снизу малый треугольник, обозначающий опору. Нам требуется определить расстояние х от этого центра тяжести О до левого конца стержня, т.е. до точки а.

Согласно условию равновесия тела, имеющего ось вращения, на которое действуют две силы, момент силы, вращающей тело по часовой стрелке, должен быть равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. При выполнении этого условия тело не будет вращаться вокруг этой оси. У нас вращает тело по часовой стрелке вокруг точки О сила тяжести m2g, а против — сила тяжести m1g. Значит, чтобы стержень оставался в равновесии, моменты М1 и М2 этих сил должны быть равны друг другу:

kas70-2

Теперь осталось самое трудное: найти плечи этих сил тяжести. Напомним, что плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия этой силы. Поэтому плечом l1 силы тяжести m1g будет отрезок С1О. Как же его найти?
Если внимательно посмотреть на рис. 43 и хорошенько подумать, то можно сообразить, что плечо l1 равно разности отрезков аО = х и аС1, причем отрезок аС1 составляет половину медной части стержня, ведь точка С1 делит медную часть пополам. А медная часть согласно условию задачи составляет четверть длины стержня, поэтому отрезок аС1 составляет восьмую часть его длины. Значит,

kas70-3

Теперь подумаем, чему равно плечо l2 — это будет отрезок ОС2. Посмотрев внимательно на рис. 43, можно сообразить, что отрезок ОС2 равен разности отрезков аС2 и аО. Отрезок аС2 равен сумме отрезка аb, составляющего четверть длины стержня, и отрезка bC2, который равен половине длины стальной части стержня, равной трем четвертям длины всего стержня, поэтому

kas70-4

 

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в уравнение (1) и, выполнив алгебраические преобразования, найти х. Проделаем эти действия:

kas70-5

Ответ:  х = 46 см.


Комментарии